Olá, aqui é a Luisa.
Pela sugestão da Nicole, do Hamster doce hamster, irei falar sobre as doenças que podem afetar os hamsters.
Primeiro, vamos falar da doença do Rabo-molhado ou Wet-tail.

A doença Wet-tail é uma infecção que pode afetar facilmente pequenos roedores, inclusive os hamsters, claro.
Sintomas:
Ele vai ter uma crise grave de diarréia e desidratação. E a desidratação é muito grave nos hamsters por causa de seu pequeno tamanho. Um dia sem beber pode ser letal! Outro sintoma é que a pele vai ficar endurecida com as próprias fezes dele. Ele também não será mais tão ativo quanto o normal.
Agora, uma coisa importantíssima: a doença é muito contagiosa. Então, se você tiver mais de um hamster, com certeza ele vai pegar a doença também.
Eles também vão ter um odor a eles. Ele não vai mais se interessar por se alimentar e beberá muita pouca água.
Leve seu hamster em um veterinário imediatamente ou ligue para alguém que entenda sobre roedores. É muito importante garantir a saúde de seu animalzinho!

Outras doenças:

Alergia
O hamster pode ter alergia a muitas substâncias, por exemplo da serragem de cedro, que pode causar sérias reações alérgicas e também problemas respiratórios, então não a utilize.
Um hamster pode se tornar alérgico a certos alimentos. Alimentos muito "calóricos" como aveia e cereais em sua dieta podem causar irritações na pele fazendo o hamster se coçar excessivamente. Materiais usados para forração e limpeza de gaiolas, poeira, etc podem também causar reações alérgicas em alguns hamsters. Os sintomas de uma alergia podem variar mas incluem espirros, ruídos respiratórios, irritação na pele, olhos lacrimejantes, perda de pelos. Alergia a material de limpeza ou a serragem podem resultar em dores no estômago e pés irritados.
Se quiser se certificar que seu amigo está com alergia, você deve pensar em se você colocou alguma coisa nova na gaiola recentemente, ou se ele anda menos ativo, entre outros assuntos. Se você achar a fonte da alergia, remova-a e ele se recuperará bem rapidinho!
Se o hamster apresentar uma forte reação alérgica ou tiver problemas respiratórios procure ajuda veterinária imediatamente.

Problema com os olhos
Ocasionalmente alguns hamsters podem ficar com os olhos "grudados", ou seja, as pálpebras parecem estar coladas nos olhos. Os hamsters idosos apresentam mais os olhos "grudados" do que os mais jovens. Isso geralmente é causado por alguma coisa no olho do hamster, como poeira. Pode ser, também, que a gaiola foi colocada em uma corrente de ar, então pode ser um sintoma de resfriado ou alergia. Você pode limpar os olhos com um pedaço pequeno de algodão com água morna. Caso isso não aconteça, tente abrir as pálpebras gentil e suavemente. Caso não haja sucesso, leve seu animal a um veterinário.
Atenção: se ele tiver repetidamente os olhos "grudados", lacrimejantes ou olhos turvos, o hamster pode estar com uma infecção nos olhos. Mesmo sendo raro, os hamsters podem pegar catarata e o sintoma é um olho turvo. Embora a catarata não possa ser tratada, é bom confirmar com um veterinário, já que o sintoma de uma infecção ocular é muito parecido.
Ocasionalmente, um hamster pode perder um devido um acidente ou doença, ou a visão pode ir desaparecendo devido a uma deformidade genética. A perda de um olho ou cegueira não afeta muito os hamsters, pois sua visão é muito "pobre" e eles dependem principalmente do olfato e audição.

Perda de pelo
Se seu hamster apresentar perda de pelo (sarna), não se preocupe, pois é uma doença simples e de fácil tratamento. Primeiro, você deve identificar as zonas afetadas (normalmente nas costas, em pequenos e diversos lugares). Compre EMULSÃO DE BENZOATO DE BENZILA (vendido em qualquer farmácia). Aplique duas vezes por dia, uma vez pela manhã e outra vez pela tardinha, durante dois dias. Como aplicar: coloque 10ml de Emulsão em um pote esterilizado (para não contaminar toda a embalagem do medicamento). Depois, molhe num cotonete e "ensope" bem as partes com falta de pelo do animal. Os resultados aparecem de 3 a 4 dias.
Consulte sempre um veterinário antes de medicar seu hamster.

Tabela de doenças
Aqui em baixo está uma tabela de doenças. Os sintomas estão em cima e que tipo de doença pode ser, em baixo.
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Sangue na urina
Fungo Aspergillis, infecção na bexiga e nos rins
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Fezes moles
Fungo Aspergillis, diarréia, wet-tail 
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Sede excessiva
Infecção na bexiga ou nos rins, diabetes
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Coçar-se excessivamente
Alergia, parasitas, dermatoses
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Micção excessiva
Fungo Aspergillis, infecção na bexiga e nos rins, diabetes
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Queda de pelo
Alergia, deficiência alimentar, sarna, alergia, dermatoses
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 Falta de coordenação motora
Infecção no ouvido, hemorragia cerebral
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Falta de evacuação
Constipação
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Caroço
Abcesso, tumor
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Secreção nasal
Alergia, resfriado
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Inchaço ou vermelhidão nos olhos
Alergia, resfriado, conjuntivite
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Lesões na pele
Sarna, mancha-no-quadril, dermatoses
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Letargia profunda
Fungo Aspergillis, desidratação, hibernação, infecção dos pulmões, choque, prostração pelo calor
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Tremores
Resfriado, choque, infecção dos pulmões, prostração pelo calor
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Espirros
Alergia, resfriado
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Perda de peso
Diabetes, problemas dentários
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Dificuldade na respiração
Alergia, Fungo Aspergillis, resfriado, infecção nos pulmões
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Espero que tenham gostado, e nunca esqueçam de levar seu hamster para um veterinário!
Abraços, Luisa

Fontes: http://drianderi.sites.uol.com.br/hamstersaude.html 
http://hamster-doce-hamster.blogspot.com.br/2012/04/doenca-do-rabo-molhado-ou-wet-tail.html